Veronica Betancur: LA TABLA DE LA VERDAD

Una tabla de la verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que despliega el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.
Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años de 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein que publico en 1921.

Se consideran dos proposiciones A y B Cada una puede tomar uno de dos valores de la verdad: V (verdadero), o F (falso). Por lo tanto, los valores de verdad de A y de B pueden combinarse de cuatro maneras distintas: o ambas son verdaderas; o A es verdadera y B falsa, o A es falsa y B verdadera, o ambas son falsas. Esto puede expresarse con una tabla simple:

$\begin{array}{|c|c|} \hline A & B \\ \hline V & V \\ V & F \\ F & V \\ F & F \\ \hline \end{array}$

La definición de la tabla de verdad corresponde a funciones concretas, en cada caso, así como a implementaciones en cada una de las tecnologías que pueden representar funciones lógicas en binario, como las puertas lógicas o los circuitos de conmutación.

Caso 1

$\begin{array}{|c|c||c|} \hline A & B & c.1 \\ \hline V & V & V \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & V \\ \hline \end{array}$

El primer caso en una función lógica que para todas las posibles combinaciones de A y B, el resultado siempre es verdadero, es un caso de tautología, su implementación en un circuito es una conexión fija.

Caso 2

$\begin{array}{|c|c||c|} \hline A & B & c.2 \\ \hline V & V & V \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \\ \hline \end{array}$

En este segundo caso el resultado solo es falso si A y B son falsos, si una de las dos variables es cierta el resultado es cierto.

La función seria:

$A \lor B$

Caso 3

$\begin{array}{|c|c||c|} \hline A & B & c.3 \\ \hline V & V & V \\ V & F & V \\ F & V & F \\ F & F & V \\ \hline \end{array}$

En el tercer caso el resultado es cierto si A es cierto y cuando A y B son falsos el resultado también es cierto.

Su función seria:

$A \lor \neg B$

Caso 4

$\begin{array}{|c|c||c|} \hline A & B & c.4 \\ \hline V & V & V \\ V & F & V \\ F & V & F \\ F & F & F \\ \hline \end{array}$

En el cuarto caso la función es cierta si A es cierta, los posibles valores de B no influyen en el resultado.

La función solo depende de A:

$A \;$

Caso 5

$\begin{array}{|c|c||c|} \hline A & B & c.5 \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & V \\ \hline \end{array}$

En el quinto caso si A es falso el resultado es verdadero, y si A y B son verdaderos el resultado también es verdadero, puede verse que este caso es idéntico al tercero permutando A por B.

Y si función es:

$\neg A \lor B$

Caso 6

$\begin{array}{|c|c||c|} \hline A & B & c.6 \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & F \\ \hline \end{array}$

En el sexto caso la función es cierta si B es cierta, los valores de A no influyen en el resultado.

La función solo depende de B:

$B \;$

Caso 7

$\begin{array}{|c|c||c|} \hline A & B & c.7 \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & V \\ \hline \end{array}$

El séptimo caso corresponde a la relación incondicional entre A y B, el resultado solo es cierto si A y B son ciertos o si A y B son falsos.

$(A \land B) \lor (\neg A \land \neg B) = A \leftrightarrow B$

Caso 8

$\begin{array}{|c|c||c|} \hline A & B & c.8 \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & F \\ \hline \end{array}$

En el octavo caso el resultado es cierto si A y B son ciertos, en el resto de los valores de A y B el resultado es falso, corresponde a la conjunción de A y B, equivalente a un circuito en serie.

$A \land B$

Caso 9

$\begin{array}{|c|c||c|} \hline A & B & c.9 \\ \hline V & V & F \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & V \\ \hline \end{array}$

En el noveno caso el resultado solo es falso si A y B son ciertos, en el resto de los valores de A y B el resultado es verdadero, corresponde a la disyunción de la negación A y de B, equivalente a un circuito en paralelo de conexiones inversas.

$\neg A \lor \neg B$

Caso 10

$\begin{array}{|c|c||c|} \hline A & B & c.10 \\ \hline V & V & F \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \\ \hline \end{array}$

Podemos ver que el décimo caso es lo opuesto a la incondicional solo es cierto si A y B discrepan, si A y B son diferentes el valor es cierto, si A y B son iguales el resultado es falso.

$(A \land \neg B) \lor (\neg A \land B)$

Caso 11

$\begin{array}{|c|c||c|} \hline A & B & c.11 \\ \hline V & V & F \\ V & F & V \\ F & V & F \\ F & F & V \\ \hline \end{array}$

En este caso posemos ver que cuando B es cierto el resultado es falso y que cuando B es falso el resultado es verdadero, independientemente del valor de A, luego la función solo depende de B, en sentido inverso.

$\neg B$

Caso 12

$\begin{array}{|c|c||c|} \hline A & B & c.12 \\ \hline V & V & F \\ V & F & V \\ F & V & F \\ F & F & F \\ \hline \end{array}$

En el caso doce, vemos que solo hay una combinación de A y B con resultado verdadero, que es A y la negación de B.

$A \land \neg B$

Caso 13

$\begin{array}{|c|c||c|} \hline A & B & c.13 \\ \hline V & V & F \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & V \\ \hline \end{array}$

En el caso decimotercero podemos ver que el resultado es el opuesto de A, independientemente del valor de B:

$\neg A$

Caso 14

$\begin{array}{|c|c||c|} \hline A & B & c.14 \\ \hline V & V & F \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & F \\ \hline \end{array}$

Caso decimocuarto, el resultado de la función solo es cierto si A es falso y B verdadero, luego es equivalente a un circuito en serie de A en conexión inversa y de B en conexión directa.

$\neg A \land B$

Caso 15

$\begin{array}{|c|c||c|} \hline A & B & c.15 \\ \hline V & V & F \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & V \\ \hline \end{array}$

En el caso decimoquinto, el resultado solo es cierto si A y B son falsos, Luego es necesario que Tanto A como B sean falsos para que el resultado sea verdadero.